☛ *** Limite d'une somme

Énoncé

Soit \(\left(u_{n}\right)\)  la suite définie pour tout \(n\in \mathbb N^*\)  par  \(u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{n}{k+n^2}=\dfrac{n}{1+n^2}+\dfrac{n}{2+n^2}+...+\dfrac{n}{n+n^2}\) .

1. Calculer `u_1`  et `u_2` .

2. a. Combien y a-t-il de termes dans cette somme ? Quel est le plus petit ? Le plus grand ?
    b. En déduire que, pour  \(\forall n\in \mathbb N^*\) , \(\dfrac{n^{2}}{n+n^{2}}\leqslant u_{n}\leqslant\dfrac{n^{2}}{1+n^{2}}\) .
    c. Calculer \(\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}u_{n}\) .

Solution

1. \(u_1=\displaystyle\frac{1}{1+1^2}\)  soit \(u_1=\displaystyle\frac{1}{2}\) .
  \(u_2=\displaystyle\frac{2}{1+2^2}+\displaystyle\frac{2}{2+2^2}\)  soit \(u_2=\displaystyle\frac{11}{15}\) .

2. a. La somme comporte \(n\)  termes.
Le plus petit terme de la somme est le dernier, c'est-à-dire \(\displaystyle\frac{n}{n+n^2}\) .
Le plus grand terme de la somme est le premier, c'est-à-dire \(\displaystyle\frac{n}{1+n^2}\) .
    b. Soit \(n\)  un entier naturel non nul.
D'après ce qui précède, pour tout entier naturel \(k\)  compris entre \(1\)  et \(n\) , on a   \(\displaystyle\frac{n}{n+n^2} \leqslant \displaystyle\frac{n}{k+n^2} \leqslant \displaystyle\frac{n}{1+n^2}\) .
En sommant membre à membre les \(n\)  inégalités précédentes, on obtient l'inégalité demandée.
    c. Pour tout entier naturel  \(n\)  non nul, \(\displaystyle\frac{n^2}{n+n^2} = \displaystyle\frac{1}{\frac{1}{n}+1}\)  et \(\displaystyle\frac{n^2}{1+n^2} = \displaystyle\frac{1}{\frac{1}{n^2}+1}\) .
\(\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{n}+1}\right)=1\)  et \(\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{n^2}+1}\right)=1\)  
donc, d'après le théorème des gendarmes,  \(\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}u_{n}=1\) .